Decimos que un gráfico obtenido con el método del "paseo aleatorio" o Random-Walk es un fractal porque sus patrones de formación se repiten a todas sus escalas, o lo que es lo mismo sus patrones de formación son independientes de la escala del gráfico.

La construcción de un gráfico FRACTAL tipo Random-Walk puede ser muy sencilla o muy sofisticada, pero en ambos casos observaremos patrones de formación, en forma de unos módulos o figuras típicas que aparecen antes de que el gráfico inicie un despliegue al alza, a la baja, o a la permanencia en un determinado nivel.

Dichos "módulos" o estructuras de formación acostumbran recibir la denominación de "universales", algunas veces porque se interpretan como una "ley de la naturaleza" y otras veces por la característica de ser independientes de la escala de los gráficos.

La importancia que tienen este tipo de gráficos fractales en el análisis bursátil viene dada por el hecho de que cumplen con todas las pautas de comportamiento detectadas a lo largo de los últimos 80 años en el estudio de los gráficos de precio en los mercados.

Elementos necesarios para su fabricación:

• Una moneda, un dado y una hoja de papel milimetrado sobre la que se ha establecido un sistema de coordenadas X e Y.

Se parte de una altura cualquiera del eje Y, por ejemplo 100 y se tira la moneda. Si sale cara diremos que el gráfico sube y si sale cruz diremos que el gráfico baja. Imaginemos que sale cara. A continuación tiramos el dado y sale por ejemplo un dos. Dado que ha salido cara en la moneda y dos en el dado subiremos el gráfico un 2 % con lo cual el nuevo punto sobre el gráfico será 102.

Repetimos la operación y sale de nuevo cara y en el dado sale un seis, luego el siguiente punto será 108,12 (un 6 % de alza sobre el 102 anterior) y trazamos dicho nuevo punto sobre el gráfico.

Repetimos la operación y ahora sale cruz en la moneda y 3 en el dado. El siguiente punto que trazaremos estará en el nivel 104,87, es decir un 3 % por debajo del nivel 108,12 anterior.

Si continuamos avanzando en el gráfico con el mismo procedimiento de la moneda y el dado y dicha operación la efectuamos unas 200 veces mas como mínimo, y cuantas mas veces mejor, quedaremos asombrados ya que observaremos tendencias primarias, tendencias secundarias, soportes, resistencias y figuras, que se comportan del mismo modo que se comportan en los gráficos bursátiles.

No se conoce en la actualidad porqué el azar construye gráficos en los que se observan las mismas tendencias, soportes, resistencias, figuras, etc, que aparecen en los gráficos bursátiles, pero es un hecho científico que se producen, ya que basta con "fabricar" dichos gráficos al azar, usando el procedimiento anterior, para observarlos y por tanto es un hecho científico dicho comportamiento, porque es repetible e independiente de la voluntad del que efectúa las tiradas para construir el gráfico.

El sistema "sofisticado" tiene la ventaja sobre el anterior sistema "sencillo" de que reproduce con mas frecuencia aquellos movimientos, patrones y módulos, que mas se dan en la realidad del gráfico bursátil que se toma como referencia, ya que contiene sus mismas pautas intrínsicas aunque deflactadas por el azar y es por ello por lo que se utiliza el sistema "sofisticado" como base para la construcción de los abanico de "escenarios" posibles para un valor, ya que un valor en sus diferentes escenarios sometidos al azar, debe mantener su ADN en términos genéticos constitutivos, es decir; su misma estructura interna básica no relacional.

Tanto el programa CONSULTOR, como el FINANFOR fabrican "escenarios" con este método. (Ver FINANFOR accediendo a la pantalla "chartista" con la tecla F9).

En los programas informáticos CONSULTOR y FINANFOR el procedimiento para la fabricación de escenarios, junto con las fórmulas de cálculo de los mismos y los deflactores de patrones modulares utilizados, son propiedad de Leo Taber Internacional S.L. quien los ha obtenido después de exhaustivas investigaciones.

Lo más importante de dichos escenarios es que cumplen con todos y cada uno de los condicionantes del Chartismo y las Ondas de Elliott. Tanto es así, que pueden emplearse en el estudio y profundización en dichas técnicas de análisis bursátil, sobre todo con los escenarios fabricados por el programa FINANFOR, ya que dicho programa permite adelantar la trayectoria de cualquier valor en 134 días hacia el futuro, es decir, "fabrica" la trayectoria que puede seguir un valor sin incumplir ninguna de las reglas del Chartismo y de las Ondas de Elliott, cumpliendo, por tanto, con figuras, tendencias, soportes, resistencias, recuento de ondas, etc. desde el punto actual (posición 640) de un gráfico histórico "real" del valor de 640 sesiones, hasta la sesión 774 situada en el futuro.

Además permite lanzamientos de escenarios múltiples a elegir, (en la versión PRO en preparación), agrupados en unidades de 30, 60, 90, 150, 240, 390 y 630 escenarios individuales, siendo 30 la unidad mínima de escenarios individuales para formar un grupo, ya que según Student-Fischer, las muestras deben contener por lo menos 30 elementos para ser significativas.
 
De cada uno de los escenarios individuales el programa recoge las cotizaciones: máxima, mínima y última y al finalizar nos muestra el promedio de dichas cotizaciones, para el total del grupo elegido, con lo cual se obtienen escenarios "consensuados" de mayor poder predictivo que los escenarios individuales.
 
De esta manera podemos saber que máximo, mínimo y último cambio son los mas probables que se den, cuando la trayectoria actual del gráfico se prolonga seis meses hacia el futuro, aproximadamente.

En los gráfico fractales construidos emulando a los gráficos bursátiles, se entiende por probabilidad fractal a un número concreto, comprendido entre 0 y 1 que al ser multiplicado por la longitud del tramo que se tome como patrón, nos dará la esperanza matemática de la longitud compensativa asociada a dicho tramo.

Tradicionalmente en las distintas modalidades de análisis técnico constituidas o derivadas de los estudios iniciados por Ralph Nelson Elliott en los años 30 del siglo pasado, se ha tomado implícitamente el número 0,618 como expresión de dicha probabilidad, ya que una determinada longitud elegida como patrón debe ser multiplicada por 0,618 para obtener la esperanza matemática de la longitud de su tramo compensativo asociado.

En gráficos fractales el número que se encuentra por deducción matemática es muy parecido aunque ligeramente distinto ya que resulta ser 0,636. Lo sobresaliente es que dicho número coincide con el valor medio de las franjas de variación encontradas en la observación de muchísimos gráficos bursátiles.

En efecto, los tramos compensativos de una longitud tomada como patrón se comprueba estadísticamente que acostumbran a terminar dentro de una franja comprendida entre el 61 % y el 66 % del tramo patrón anterior, luego su punto medio es (61+66) / 2 = 63,5 %, lo que en términos de tanto por uno significa 0,635 que como vemos es casi idéntico al 0,636 que arrojan los cálculos en los gráficos fractales, tal como veremos en los puntos que siguen:
 

Sean dos niveles (N1) y (N2) de un gráfico fractal, en el que la distancia entre ambos, medida en el eje de la Y, es la distancia que se toma como patrón de dicho gráfico fractal.

La distancia medida sobre el eje de las Y entre (N1) y (N2), a la que se asigna longitud = 1 por ser definida como unitaria (patrón) sea cual sea dicha distancia, podemos comprobar que coincide con el radio de las circunferencias C1 y C2 de longitudes iguales a (2.Pi.1) ambas, luego la cuarta parte de las mismas valdrá también en ambos casos (Pi/2).

Para subir del nivel (N1) al nivel (N2) podemos hacerlo a través de la distancia mínima igual a 1 que coincide con el radio de la circunferencia C1 o a través de la distancia máxima del arco alcista contiguo a dicho radio, que como hemos deducido anteriormente tiene una longitud igual a Pi/2. Ello es así porque desde el punto de salida al alza solo puede salirse por la tangente hacia una nueva trayectoria, dado que la tangente es el único punto común a ambas trayectorias y la tangente solo puede darse si la segunda trayectoria corresponde a dicho arco de circunferencia.

Así mismo, para bajar del nivel (N2) al nivel (N1) podemos hacerlo a través de la distancia mínima igual a 1 que coincide con el radio de la circunferencia C2 o a través de la distancia máxima del arco alcista contiguo a dicho radio, que como sabemos tiene una longitud igual a Pi/2.

En ambos casos,  el recorrido desfavorable, (exceso de recorrido), es:    (Pi / 2) - 1 = 0,570796327

Con lo cual podemos decir que:

Unidades de longitud DESFAVORABLES        0,570796327                               
------------------------------------------------------------ = ------------------- = 0,570796327
  Unidades de longitud FAVORABLES                        1                                    

Y de aquí desprende automáticamente que probabilidad = 0,6366197723. En efecto:

Esto es:

Entonces :

( Considerando solo los tres primeros decimales queda Probabilidad = 0,636 )

Por tanto la Esperanza matemática de las longitudes asociadas a la longitud elegida como patrón será:

• Esperanza matemática = Longitud definida como patrón x 0,636

Y esa será la longitud asociada que mas se detectará en los gráficos, como así ocurre efectivamente ya que al investigarlos estadísticamente se encuentran elongaciones asociadas que oscilan entre bandas mínimas del 61 % y bandas máximas del orden del 66 % de la longitud patrón, con lo cual el punto medio de dichas bandas coincide con la esperanza matemática igual a "longitud patrón x 0,636".

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Hasta aquí el libro de K.Neville, y ahora nuestros cálculos.

En unidades básicas de escala lo que debería encontrarse sería:

• OCTAVA BÁSICA MENOS UNA UNIDAD BÁSICA PERDIDA IGUAL A OCHO MENOS UNO

Si efectuamos cálculos con el número áureo 0,6180 y repetimos los mismos cálculos con la probabilidad fractal (2 / Pi) igual a 0,6366, obtenemos la siguiente sorpresa:

Cálculos con el número áureo: ( 0,6180 x 12 ) - 0,6180 = 6,798

Cálculos con la probabilidad Fractal: ( 0,6366 x 12 ) - 0,6366 = 7,002

• LOS CÁLCULOS CON LA PROBABILIDAD FRACTAL DAN CANTIDADES EXACTAS EN LA ESCALA (con un error humanamente inaudible de 2 milésimas), Y LOS EFECTUADOS CON EL NÚMERO ÁUREO NO (el error es audible).

Puesto que Pitágoras no encontró error audible alguno, lo que intervino fue la probabilidad fractal, pero él especuló que era el número áureo el que intervenía en la escala, evidentemente porque no conocía ninguno mas que fuera trascendente para él y no podía ni imaginarse que el número que intervenía era 2 / Pi.

El parecido entre el número áureo 0,6180 (base de los cálculos de Fibonacci) con la probabilidad fractal 0,6366 funcionó otra vez ya que ambos representan el 60 y pico por ciento de la base unitaria y así se escribe la historia.

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En el análisis de las trayectorias límite entre los niveles N1 y N2 del punto anterior se ha considerado un solo grado de libertad para el eje de las X, tal como corresponde a un gráfico tipo Random-Walk en el que por el eje de las abcisas solo se puede avanzar hacia arriba, hacia abajo o hacia delante, pero no se puede retroceder.

Si nos alejamos de los gráficos Random-Walk anteriores y consideramos la totalidad del plano, se observa que las trayectorias en arco reproducen la curva en cuatro cúspides de la llamada "máquina de catástrofes" de Zeeman y de ello se desprenden consecuencias importantísimas para el análisis de los gráficos bursátiles.

La teoría de discontinuidades o catástrofes trata de los cambios bruscos que surgen como respuesta repentina de un sistema a un cambio suave en las condiciones a las que está sometido dicho sistema o lo que es lo mismo la teoría de discontinuidades trata de la "estabilidad estructural" de los sistemas dinámicos y fue perfectamente sistematizada por el matemático francés René Thom en 1972, aunque sus precedentes son mucho mas antiguos.

E. C. Zeeman desarrolló muchas aplicaciones prácticas de la obra de René Thom en el Instituto de Matemáticas de la Universidad de Warwick durante el trienio 1970-1973 y según el propio Thom fue el inventor del término "Teoría de Catástrofes".

A Zeeman se debe el primer prototipo de "máquina de catástrofes", que produjo una convulsión entre los estudiosos de los sistemas dinámicos, ya que induce saltos repentinos, es decir induce efectos de pérdida de estabilidad (cambios bruscos de orientación) sin causa determinante reconocible. Veamos como es dicha "máquina".

La máquina de catástrofes consta de un tablero al que se fija un disco agujereándolo por su centro. Una goma elástica se fija luego entre el borde del disco y el extremo derecho del tablero ( a la altura del centro del disco) y otra goma elástica se fija en el mismo borde anterior del disco por un lado y en un lápiz que sostendremos con la mano por el otro.

Al mover el lápiz el disco gira y se comprueba que para ciertas posiciones del lápiz un pequeño cambio, similar a los anteriores, produce está vez un salto brusco del disco. El sistema a perdido en este punto su estabilidad.

Si se unen todos los puntos en los cuales se produce una pérdida de estabilidad (una catástrofe en el lenguaje de Zeeman) se observa que el dibujo es un rombo cuyos lados están curvados ligeramente  hacia dentro. Esa figura es la frontera dentro de la cual hay estabilidad y que al cruzarla fuera se produce un salto brusco (una bifurcación) pasando el disco a estabilizarse a otro nivel.

Esa figura de rombo abombado que marca la frontera de la estabilidad del patrón que rige el sistema es precisamente la que vamos a estudiar, ya que una parte de la misma pertenece a los cuartos de arco que vimos en el anterior punto 2.1. En efecto, si consideramos un plano, tal como hemos especificado en el punto 2.2, obtenemos lo siguiente:

Como se puede apreciar la frontera de los recorridos posibles, entrando por cada uno de los cuatro tramos de los ejes, y admitiendo avances y retrocesos de posición en el plano, coincide con las fronteras de la estabilidad obtenidas con la máquina de Zeeman.

Ahora estamos ya en condiciones de poder tomar conciencia de que los arcos de cambio de nivel construidos para pasar del nivel N1 a N2 y viceversa, vistos en el punto 2.1, pertenecen a la figura romboidal-frontera de estabilidad mostrada por la máquina de Zeeman, aunque dicha frontera aparezca necesariamente incompleta debido a que los fractales tipo Random-Walk que emulan a los gráficos de cotizaciones tiene menos grados de libertad, que el plano en el que actúa dicha máquina. (A gráficos sesgados corresponden fronteras sesgadas, pero totalmente válidas para dichos gráficos.)
 

• Cuando un gráfico cumple con la longitud de los retrocesos previstos por Elliott corregido (0,636 en vez de 0,618) se está desplegando un patrón o módulo en principio previsible, si dicho patrón forma parte de la familia de módulos catalogados y por tanto reconocibles para el que domine dicha catalogación.

• Cuando de pronto un gráfico incumple con los retrocesos previstos (0,636) podemos afirmar que el patrón fractal ha variado y se está desplegando otro patrón, del que solo podremos tener conciencia cuando vuelvan a detectarse los retrocesos del 0,636, pero mientras tanto el sistema se encontrará en un estado de incertidumbre en el que no son posibles las previsiones.

• Cada vez que el sistema bifurca (incumple con los retrocesos) es porque en dicho instante está cruzando la frontera de la estabilidad dinámica del sistema y por tanto está eligiendo un nuevo patrón a desplegar, dentro de la inmensa familia de patrones que contiene los gráficos fractales (muchísimos mas que los catalogados por Elliott y el Chartismo). Dicho nuevo patrón solo se estabilizará cuando vuelvan a cumplirse los retrocesos, pero el patrón será ya otro.

• Si el sistema tarda en cumplir de nuevo con los retrocesos previstos, significa que se encuentra inmerso en un proceso de cambio continuo del patrón a desplegar, a la búsqueda de un patrón que le garantice una nueva estabilidad por un cierto tiempo, pero nunca se puede saber a priori cual será la duración del nuevo patrón estable cuando lo encuentre. Solo podremos saber cuando lo ha encontrado y cuando lo ha perdido de nuevo, por el cumplimiento del 0,636 en los retrocesos.

• Cualquier otro número utilizado en base al 0,636, mitades, complementos a 1 sumas a 1, etc. solo son, desde el punto de vista fractal, búsquedas desesperadas de apoyos al análisis en los momentos de incumplimiento del genuino retroceso, en los que no se puede saber el patrón que está emergiendo (el sistema lo está eligiendo), y que tratan de evitar tiempos los tiempos muertos que se inducen en los métodos de análisis al cruzar el sistema las fronteras de la estabilidad y saltar de un patrón a otro hasta encontrar otro módulo estable durante un cierto tiempo. En estas situaciones el método fractal recomienda esperar y dar tiempo al sistema a que se estabilice, cosa que sabremos de cierto cuando de nuevo se cumpla el retroceso del 0,636.

• El único número compatible con la probabilidad fractal 0,636 y que también asegura que el módulo desplegado por el gráfico es estable, es el 0,57 siempre que el recuento se haga sobre la proporción de longitudes asociadas del tipo "longitud del tramo desfavorable" dividida por la "longitud del tramo favorable", siendo esta última la elegida como patrón de medida o patrón unitario, porque dicho recuento es equivalente al 0,636 de la esperanza matemática fractal. Hacemos inciso en ello porque puede suceder que el nuevo tramo fractal que el sistema ha elegido para un nuevo despliegue, sea aún demasiado corto para que aparezcan las longitudes asociadas al 0,636 en cuyo caso podemos detectar la estabilidad del nuevo módulo o patrón que se está desplegando a través del 0,57 calculado como se ha explicitado anteriormente.
  

Las construcciones gráficas que se han realizado en este estudio, sobre todo los pasos entre los niveles N1 N2 a través de recorridos verticales o en arco y su correspondencia con una parte de los arcos detectados con la "máquina de catástrofes" de Zeeman, no deben tomarse en sentido literal como realizables explícitamente por un gráfico fractal tipo Random-Walk, que es el que corresponde a un gráfico bursátil o a un escenario, sino que deben tomarse en sentido ESTRUCTURAL, es decir:  en el sentido que si un gráfico cumple con las relaciones detectadas 0,636 o 0,57, estructuralmente entra en correspondencia con las geometrías implicadas en este estudio y por tanto nos revela su condición de patrón estable en despliegue por el fractal, pero una cosa es la estabilidad, la permanencia del patrón, y otra cosa es su morfología, es decir: la forma de dicho módulo o patrón en despliegue, ya que existe una inmensa familia de patrones que puede desplegar y solo están catalogados por el análisis técnico (Elliott, Chartismo, etc) una pequeña parte de ellos.

 Por el contrario si no se cumplen las relaciones 0,636 y/o 0,57 entonces cualquier intento de identificación del patrón en despliegue debe considerarse como una búsqueda espúrea, ya que no se despliega entonces un patrón o módulo determinado sino que lo que se produce es un tanteo de patrones, para encontrar otro definido que se mantendrá así solo por un tiempo imposible de saber a priori, hasta que una nueva catástrofe produzca la pérdida de estabilidad del último patrón en despliegue, que sabremos por el incumplimiento de los ratios estructurales 0,636 y 0,57, iniciándose la búsqueda de otro nuevo hasta que vuelva a producirse otra pérdida de estabilidad en el mismo y así sucesivamente, y así se comportan los fractales, todo lo cual lo decimos sin énfasis, pero lo decimos.