2.- PARTE SEGUNDA. COMO SABE EL SISTEMA INFORMÁTICO EL PUNTO EXACTO DONDE SE ENCUENTRA UN GRÁFICO SOBRE EL SÍMBOLO.

El sistema del Símbolo funciona con curvas de ajuste. Concretamente dispone de mas de medio millón de funciones de ajuste, que exactamente son 516.961. Estudiaremos el problema de las curvas de ajuste y luego veremos de donde sale el número exacto de las 516.961 funciones.

La función a la que se ajusta una recta es: Y = A.X + B

La función a la que se ajusta una parábola es: Y = A.X² + B.X + C

Y en gráficos complicados la función es: Y = A.X⁵ + B.X⁴ + C.X³ + D.X² + E.X + F

Vemos que la primera expresión contiene todas las rectas posibles, y para ajustarla a un gráfico que represente una recta cualquiera solo hace falta colocar los números correctos en los parámetros A, (pendiente de la recta), y B, (altura del origen), pero si el gráfico no tiene una forma de recta sino de parábola, por más que modifiquemos los parámetros A y B no conseguiremos ajustar esta nueva forma del gráfico, ya que para ello debemos emplear la segunda función de ajuste.

Con dicha segunda función de ajuste, (que es una cuadrática), y modificando convenientemente los parámetros A, B y C, conseguiremos ajustar cualquier gráfico que tenga forma de parábola, pero de nuevo no podremos ajustar otros gráficos con formas mas complicadas, y de nuevo deberemos cambiar la función de ajuste para lograrla y luego variando los parámetros de dicha nueva fórmula conseguiremos ajustar dichos gráficos mas complicados.

EN RESUMEN:

• Para poder ajustar un gráfico precisamos de dos elementos sustancialmente diferentes, los cuales son: FUNCIONES DE AJUSTE y PARÁMETROS.

La fórmula que emplea el sistema del Símbolo para lograr la colección de funciones necesarias para poder ajustar cualquier gráfico que se presente, está basada en las llamadas "álgebras de Lie" que permiten rotar una función y extraer de ella todas las funciones contiguas y concretamente, en lenguaje técnico, permiten "rotar el germen de una función y extraer de ella, en transición suave, todas las funciones contiguas, hasta llegar a la función contraria a la función primitiva."

Imaginemos que tomamos una columna y en la parte superior colocamos la función mas alcista posible, por ejemplo una parábola fuertemente alcista, y luego vamos colocando debajo y ordenadamente, (una debajo de la otra), todas las funciones contiguas que obtenemos con las álgebras de Lie, hasta que llegamos a una función que es contraria a la primera, esto es, una parábola fuertemente bajista, con lo cual hemos completado la columna.

Al final del proceso anterior tendremos en la parte superior de la columna una FUNCIÓN DE AJUSTE fuertemente alcista, con la que podremos representar gráficos en subida libre. En la parte inferior de la columna tendremos otra función de ajuste fuertemente bajista, con la que podremos representar gráficos en caída libre, y en medio de las dos, toda una serie ordenada de funciones en la que irán incluidas las que permiten ajustar rectas, curvas complicadas, etc.

Hasta aquí habremos completo todo lo referente a las FUNCIONES, pero nos faltan aún los parámetros.

Para abordar el problema de los parámetros imaginemos de nuevo la columna anterior, ahora repleta de fórmulas, (funciones), ordenadas en sentido descendente, desde la mas alcista, (subida libre), a la mas bajista, (caída libre), y continuemos imaginando que trazamos ahora unas líneas horizontales encima de cada una de las fórmulas y que dichas líneas comienzan antes de la columna, (parte derecha), y se prolongan hacia la izquierda de la columna y mas allá de la misma, todo lo cual se puede visualizar con el siguiente diagrama:

Si en estas condiciones tomamos cada una de las funciones y vamos modificando los PARÁMETROS de las mismas, de tal manera que del centro de la columna hacia la izquierda los parámetros sean cada vez mas alcistas PARA CADA FUNCIÓN, y del centro hacia la derecha los parámetros sean cada vez mas bajistas PARA CADA FUNCIÓN, cuando hayamos terminado tendremos un mosaico de funciones parametrizadas y ordenadas de tal manera que cada función parametrizada será contigua y ordenada respecto a las demás y en el que:

• Cuanto mas hacia arriba y mas hacia la izquierda de dicho mosaico se encuentre la función parametrizada, mas alcista será el gráfico que ajuste con dicha función.

• Cuanto mas hacia abajo y mas hacia la derecha de dicho mosaico se encuentre la función parametrizada, mas bajista será el gráfico que ajuste con dicha función.

Si ahora colocamos todas las funciones parametrizadas obtenidas, que serán ya FÓRMULAS MATEMÁTICAS CONCRETAS dentro de un ordenador, y luego cargamos en el mismo ordenador los datos que conforman una curva o gráfico cualquiera, éste podrá buscar cual de dichas fórmulas matemáticas concretas se ajusta mas con dicho gráfico, y sabiendo eso, podemos saber en que lugar del mosaico de fórmulas totales que maneja el sistema se encuentra dicho gráfico, siendo esa la base de funcionamiento del sistema informático del Símbolo, pero para comprenderlo en su totalidad nos falta aún un refinamiento:

La deducción matemática de la verdadera forma, (de la geometría exacta), del mosaico de funciones parametrizadas o fórmulas matemáticas concretas que emplea el sistema informático del Símbolo.
  

El mosaico de fórmulas mencionado anteriormente recibe la denominación científica de "espacio de fases". Este nombre deriva de la Teoría del Caos, en la cual se denomina espacio de fases al diagrama que contiene todos los estados posibles en los que puede encontrase un determinado fenómeno, estando cada uno de los estados posibles representado por un punto en dicho diagrama.

Dado que si se construye adecuada y extensamente el mosaico anterior de fórmulas matemáticas, cualquier fenómeno expresado en forma de gráfico podrá representarse como una posición, (un punto), en dicho mosaico, equivaliendo, la geometría del mismo, a la geometría del espacio de fases y en este caso equivaldrá a "el espacio de fases de los gráficos".

Si queremos que la geometría del espacio de fases de los gráficos, sea enteramente formal, habrá que deducirla completamente de la matemática sin consideración apriorística alguna, y por tanto, para deducir dicha geometría no podremos partir de un sistema de ejes cartesiano, porque un sistema de ese tipo no se desprende de la matemática.

El sistema cartesiano de abscisas (eje de las x) y ordenadas (eje de las y) es una técnica, es un invento del Sr. Descartes, que ha significado un gran paso en la representación de funciones, en la resolución gráfica de ecuaciones, en la interpolación de funciones, etc, pero lo que pretendemos aquí no es adoptar una técnica sino, como hemos dicho, obtener un diagrama que se desprenda directamente de la matemática.

Para lograrlo, se parte de la recta real, y en ella se consideran dos vectores unitarios orientados en sentido inverso alrededor del punto cero.

En el gráfico anterior, observamos que:

• Multiplicar un número cualquiera por (-1) equivale a provocar un giro de 180 grados al vector que tenga por módulo dicho número.

Y ello se producirá sin que haga falta especificar ningún eje de referencia, ya que la posición de referencia es la posición inicial que en la que se encuentra el vector antes del giro, sea cual sea dicha posición inicial, y por tanto no existirá eje alguno privilegiado (fijo) de referencia.

Si ahora en vez de provocar un giro de 180 grados, lo que queremos es que el vector gire 90 grados, el multiplicador unitario será el número i (raíz cuadrada de –1), ya que si en vez de girar de golpe 180 grados, lo hacemos en dos tramos, primero 90 grados y luego otros 90, al multiplicar dos veces por i obtendremos el resultado de –1, que es el mismo que necesitábamos para que girara 180 grados.

Si por fin lo que queremos es obtener un multiplicador unitario que nos sirva para que el vector gire un número cualquiera de grados expresados en el sistema sexagésimal para que se pueda visualizar mas fácilmente, deberemos encontrar una función (una fórmula), en la que los grados sexagésimales actúen como variable independiente, de tal manera que entrando los grados de giro que queramos en la fórmula, obtengamos con ella el multiplicador necesario para el giro expresado en los grados introducidos en la función.

Esta función es: i ^{g / 90}

La cual podemos comprobar fácilmente en los tres casos siguientes:

• En la posición inicial de partida, sea cual sea dicha posición, el ángulo de giro (g) es cero y por tanto el multiplicador unitario resultante de la fórmula anterior será 1, (cero dividido por 90 es cero y i elevado a cero es 1).

• En la posición a 90 grados a partir de la inicial, g=90, luego 90/90=1 y por tanto el multiplicador unitario es igual a i.

• En la posición 180 grados a partir de la inicial, g=180, luego 180/90=2 y por tanto el multiplicador unitario es i al cuadrado, es decir –1.

La expresión anterior "i elevado a los grados divididos por noventa" está expresada en una dimensión. En efecto, a pesar de que la visualización de los giros pueda hacernos creer que estamos en un plano, en realidad estamos sobre una recta unidimensional, ya que solo sobre la recta obtenemos de dicha expresión números reales (1 y –1), pero cuando el giro nos lleva sobre el plano aparece siempre el número imaginario i, como no podía ser de otra manera ya que dicho plano no existe, es imaginario.

• La expresión "i elevado a los grados divididos por noventa" expresa en una dimensión todos los ángulos de giro de un vector unitario.

Para encontrar la función equivalente en dos dimensiones de la expresión anterior, es decir para encontrar la expresión que buscamos de "todos los ángulos de giro de dos vectores en un plano", podemos elevar al cuadrado la fórmula unidimensional anterior, del mismo modo que podemos elevar al cuadrado la longitud de un segmento para encontrar la superficie enmarcada por dicho segmento, y entonces sucede que:

i ^{g / 90} x i ^{g / 90} = i ^{2 g / 90} = i ^{g / 45}

Lo cual quiere decir que la geometría del plano correspondiente a todos los giros posibles de dos vectores unitarios, será tal que la "línea de separación" de las superficies positiva y negativa del plano, o línea cero, estará a 45 grados de cada una de las partes (4) de los ejes de referencia de dicho plano, del mismo modo que la expresión inicial "i elevado a los grados divididos por noventa" indicaba que el "punto" de separación de las partes positiva y negativa de la recta estaba a noventa grados de cada una de las partes (2) del eje de referencia establecido por la posición inicial.

El único plano existente que cumple con la geometría anterior es:

=

Gráfico 14                                                               Gráfico 15

Con lo cual, sabemos ya cual es la verdadera estructura geométrica del mosaico de funciones comentado en el anterior punto 2, es decir, que hemos deducido la geometría que subyace en el "espacio de fases de los gráficos".